Analiza matematyczna 1

Kurs jest przeznaczony dla studentów I roku studiów I stopnia na kier. inżynieria biomedyczna i optyka. Wykład odbywa się w piątek, godz. 11.15-13.00, s.301/D-2. Na tej stronie będą zamieszczane informacje dotyczące kursu, jak zasady zaliczenia, informacje o realizowanym materiale, literatura, listy zadań, itd.

Obecność na zajęciach jest obowiązkowa i może być sprawdzana. Program kursu jest dość obszerny, jego opanowanie wymaga systematycznej pracy (nawet, jeśli w szkole były pewne elementy analizy matematycznej).

Listy zadań

• Lista 1 - Zbiory i funkcje liczbowe
• Lista 2 - Ciągi, granica ciągu, punkty skupienia ciągu
• Lista 3 - Granica funkcji
• Lista 3a - Granica funkcji (c.d.), ciągłość funkcji
• Lista 4 - Pochodna funkcji
• Lista 5 - Zastosowania pochodnej
• Lista 6 - Całka nieoznaczona

Wykłady

• Karta przedmiotu


• Zagadnienia omawiane na wykładzie w dn. 06 i 13.10.2023 r.: język matematyki, liczby rzeczywiste

• Zagadnienia omawiane na wykładzie 20.10.2023 r.:

  Ciągi liczbowe, granica (właściwa) ciągu, warunek Cauchy'ego, operacje arytmetyczne na ciągach, porównywanie ciągów i ich granic (tw. o trzech ciągach), przykłady ważnych granic: $\lim\limits_{n\to\infty}\root{n}\of{a}=1,$ $\lim\limits_{n\to\infty}\root{n}\of{n}=1$, ciągi rozbieżne do nieskończoności,



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 27.10.2023 r.:

  Ciągi monotoiczne, tw. o istnieniu granicy ciągu monotonicznego i ograniczonego, punkt skupienia ciagu, zasady postępowania z nieskończonością, symbole nieoznaczone, przykłady ważnych granic:
  
  $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n^k}=\infty,$ ($a>1$, $k\in\NN$),
  
  $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{a^n}=\infty$, ($a>1$).

Uzasadnienie ostaniej granicy:


• Zagadnienia omawiane na wykładzie 17.11.2023 r.:

  Granica funkcji (właściwa i niewłaściwa), definicja Heinego i Cauchy'ego, własności arytmetyczne granicy, porównywanie granic, twierdzenie o trzech funkcjach, zasady postępowania z granicami niewłaściwymi, symbole nieoznaczone, przykłady ważnych granic, pomocnicza nierówność: $0\le\sin x\le x\le \text{tg}\; x$ dla $0\le x<\frac{\pi}{2}$



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 24.11.2023 r.:

  Wybrane ważne granice funkcji, przykłady obliczania granic, asymptoty wykresu funkcji $y=f(x)$, ciągłość funkcji - defincja Heinego i Cauchy'ego



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 01.12.2023 r.:

  Ciągłość funkcji: rodzaje nieciągłości, własności funkcji ciągłych, tw. Weierstrassa o przyjmowaniu najmniejszej i największej warości funkcji, tw. Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich, określenie pochodnej funkcji



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 08.12.2023 r.:

Pochodna funkcji:
• 1. pochodne jednostronne,
• 2. tw. jeśli istnieje $f'(x_0)$, to $f(x)$ jest ciągła w $x_0$,
• 3. podstawowe wzory obliczania pochodnej.
Zastosowania pochodnej:
• 1. reguła de l'Hospitala obliczania granic wyrażeń nieoznaczonych
• 2. kąt między przecinającymi się krzywymi
• 3. różniczka funkcji, wzór Taylora



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 15.12.2023 r.:

Pochodna funkcji, c.d.:
• 1. Twierdzenie Rolle'a i Lagrange'a o wartości średniej
• 2. wyznaczanie przedziałów monotoniczności funkcji na podstawie znaku jej pochodnej
• 3. ekstremum lokalne funkcji
• 4. warunki wystarczające istnienia ekstremum lokalnego w $x_0$
• 5. warunek konieczny (tw. Fermata) istnienia ekstremum w $x_0$, jeśli istnieje pochodna $f'(x_0)$
• 6. warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w $x_0$ wyrażony za pomocą pochodnych $f'(x_0)$, $f''(x_0)$, $f'''(x_0)$, $f^{(4)}(x_0)$, ...,$f^{(n)}(x_0)$
• 7. wyznaczanie ekstremów: punkty krytyczne funkcji $f$



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 22.12.2023 r.:

  badanie przebiegu funkcji



• Zagadnienia omawiane na wykładzie 12.01.2024 r.:

  całka nieoznaczona: funkcja pierwotna, podstawowe wzory, całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, całki wybranych funkcji, całkowanie funkcji wymiernych

• Zagadnienia omawiane na wykładzie w dn. 19.01.2024r.:

  całkowanie wyrażeń wymiernych zawierających funkcje trygonometryczne, wstęp do całki oznaczonej

• Zagadnienia omawiane na wykładzie w dn. 26.01.2024r.:

  całka oznaczona (Riemanna): definicja, podstawowe własności, obliczanie całki oznaczonej za pomocą funkcji pierwotnej $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$, pole figury pod wykresem funkcji $f(x)$, objętość bryły, gdy znana jest funkcja pola przekroju $S(x)$ wzdłuż przedziału $x\in [a,b]$